गुणांक ज्ञात कीजिए
$(a-2 b)^{12}$ में $a^{5} b^{7}$ का
It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by
$T_{n+1}=^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$
Assuming that $a^{5} b^{7}$ occurs in the $(r+1)^{th}$ term of the expansion $(a-2 b)^{12},$ we obtain
${T_{r + 1}} = {\,^{12}}{C_r}{(a)^{12 - r}}{( - 2b)^r} = {\,^{12}}{C_r}{( - 2)^r}{(a)^{12 - r}}{(b)^r}$
Comparing the indices of a and $b$ in $a^{5} b^{7}$ in $T_{r+1},$
We obtain $r=7$
Thus, the coefficient of $a^{5} b^{7}$ is
${\,^{12}}{C_7}{( - 2)^7} = \frac{{12!}}{{7!5!}} \cdot {2^7} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7!}} \cdot {( - 2)^7}$
$ = - (792)(128) = - 101376$
माना $\left(\mathrm{x}-\frac{3}{\mathrm{x}^2}\right)^{\mathrm{n}}, \mathrm{x} \neq 0, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$, के प्रसार में प्रथम तीन पदों के गुणांको का योग 376 है। तो $\mathrm{x}^4$ का गुणांक ___________ है।
${(1 + {t^2})^{12}}(1 + {t^{12}})\,(1 + {t^{24}})$ के विस्तार में ${t^{24}}$ का गुणांक होगा
${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{18}}$ के प्रसार में मध्य पद है
माना $\left(\sqrt{\mathrm{x}}-\frac{6}{\mathrm{x}^{\frac{3}{2}}}\right)^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \leq 15$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $\alpha$ है। यदि इस प्रसार में शेष पदों के गुणांकों का योग $649$ है तथा $\mathrm{x}^{-\mathrm{n}}$ का गुणांक $\lambda \alpha$ है, तो $\lambda$ बराबर है_________
${(1 + \alpha x)^4}$ व ${(1 - \alpha x)^6}$ के प्रसार में मध्य पद के गुणांक समान होंगे यदि $\alpha $ का मान है