गुणांक ज्ञात कीजिए
$(a-2 b)^{12}$ में $a^{5} b^{7}$ का
It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by
$T_{n+1}=^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$
Assuming that $a^{5} b^{7}$ occurs in the $(r+1)^{th}$ term of the expansion $(a-2 b)^{12},$ we obtain
${T_{r + 1}} = {\,^{12}}{C_r}{(a)^{12 - r}}{( - 2b)^r} = {\,^{12}}{C_r}{( - 2)^r}{(a)^{12 - r}}{(b)^r}$
Comparing the indices of a and $b$ in $a^{5} b^{7}$ in $T_{r+1},$
We obtain $r=7$
Thus, the coefficient of $a^{5} b^{7}$ is
${\,^{12}}{C_7}{( - 2)^7} = \frac{{12!}}{{7!5!}} \cdot {2^7} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7!}} \cdot {( - 2)^7}$
$ = - (792)(128) = - 101376$
यदि $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}$ के प्रसार में $x^9$ का गुणांक एवं $\left(\alpha \mathrm{x}-\frac{1}{\beta \mathrm{x}^3}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-9}$ का गुणांक बराबर हैं तब $(\alpha \beta)^2$ बराबर है____________.
यदि $\left(t^2 x^{\frac{1}{5}}+\frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t}\right)^{15}, x \geq 0$, के प्रसार में $t$, से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $K$ है, तो $8 K$ बराबर है $...........$
$\left(1+x^{ n }+x^{253}\right)^{10}$, ( जहाँ $n \leq 22$ कोई धन पूर्णांक हैं) के प्रसार में $x^{1012}$ का गुणांक हैं
माना $(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}}$ के प्रसार में चार क्रमागत पदों के गुणांक $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ हैं। तो $p^2-\alpha^2+6 \alpha+2 p$ का मान बराबर है
यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n$ के विस्तार में आरंभ से पाँचवे पद का अंत से पाँचवे पद से अनुपात $\sqrt{6}: 1$ है, तब आरंभ से तीसरा पद है :